条件极值问题：为什么要求出a=0，b=1和b=0，a=-根号2？

2022-11-12 21:30发布

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求条件极值问题的时候，使用拉格朗日乘数法得到的值无法直接确定是极大值还是极小值，题中要求求出最大值和最小值，需要找出其他的可疑点，并且比较数值之间的大小。例

求条件极值问题的时候，使用拉格朗日乘数法得到的值无法直接确定是极大值还是极小值，题中要求求出最大值和最小值，需要找出其他的“可疑点”，并且比较数值之间的大小。例
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2022-11-12 22:02 .采纳回答
求条件极值问题的时候，使用拉格朗日乘数法得到的值无法直接确定是极大值还是极小值，题中要求求出最大值和最小值，需要找出其他的“可疑点”，并且比较数值之间的大小。例题中a与b直接的关系是圆锥曲线中的椭圆的关系，但是有意义的只有第二象限中的值（因为a≤0，b≥0），这时候“可疑点”很明显就是两个端点，一个是当a取0的时候的点，另一个是b取0的时候的点，将两个端点带入到体积当中，得到两个数值，并将这两个数值与拉格朗日乘数法的数值进行比较，其中最大的即为极大值，最小的就是极小值。

题主未给出题干部分，但从答题过程可以看出，题干要求的是体积的最大值和最小值。
根据积分后构造的拉格朗日函数求导=0，求得的是体积的最大值，那么最小值呢？
根据解题过程所得体积公式：V=(π/6)(b-a)⁴，将b-a整体看成一个自变量的话，在极大值点左右两边各具有一个极小值，但哪个更小呢？
因此，由前述推导的a、b定义域：a²/2+b²=1，分别可得a、b的上限和下限，即可得到b-a的两个端点值，即：（a=0，b=1）和（a=-√2，b=0）。
将这两个端点值代入体积公式，分别得出两个值：V=π/6和V=2π/3。
毫无疑问，V=π/6更小，它才是最小值。本回答被提问者采纳

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