假设交流电压为U=U0sinwt

I=[U0/R]sinwt

每一个瞬间的热功率为；

dP=[U0/R]2[sinwt]2*R

一个周期内的产热为：

Q=∫dP*dt

=∫[U0/R]2[sinwt]2*Rdt

=[U0/R]2*R∫[sinwt]2dt

=[U0/R]2*R∫[1/2][1-cos2wt]dt

=[1/2][U0/R]2*R∫[1-cos2wt]dt

=[1/2][U0/R]2*R[T-[1/2w]sin2wT]

=[1/2][U0/R]2*R*T

交流电在相同的时间内产生的热量与电压为U1的直流电相同,这时直流电U1的电压值就是交流电压的有效值.

Q=[U1/R]2*R*T=[1/2][U0/R]2*R*T

[U1/R]2=[1/2][U0/R]2

U1=U0/√2

扩展资料：

正弦交流电在工业中得到广泛的应用，它在生产、输送和应用上比起直流电来有不少优点，而且正弦交流电变化平滑且不易产生高次谐波，这有利于保护电器设备的绝缘性能和减少电器设备运行中的能量损耗。

另外各种非正弦交流电都可由不同频率的正弦交流电叠加而成（用傅里叶分析法），因此可用正弦交流电的分析方法来分析非正弦交流电。

正弦交流电在生活中有着广泛的应用，最基础的是照明，各类小电器，汽车的蓄电池也是由它转换。

但是，在各种广泛的用途中，我们并不能直接去应用交流电，这就需要稳压和滤波，比如各类小家电的供电，如果直接引入交流电，脉动电流将会瞬间烧毁电器，这就需要我们知道电器需要的电压值和电流值，通过变压来适合电器工作。

把角度当作时间来简化计算。把2π当作周期T，把小片段角度d￡当作小片段时间dt。在一个周期T内的有效值，即是计算一个周期T内的热量值相同的等效电压：

一个周期T内的热量值（假设电阻R＝1）：∫u^2×dt，即相当于∫u^2×d￡

用角度时：u=sin￡

则∫u^2×d￡＝∫sin2￡×d￡

在0～2π区间作积分：

故∫sin2￡d￡＝（2π／2－1／4×sin4π）-（0／2－1／4×sin0）＝π

等效电压Uo产生的热量值＝Uo^2×2π等于∫sin2￡d￡＝π

故：Uo^2×2π＝π

最终得：Uo＝0.707

即有效值等于峰值的0.707倍