2023-02-21 16:58发布
4.2 CAPM 的扩展回顾一下 CAPM 模型的公式\[E\left[ {{R_i}} \right] - {r_f} = \beta \left( {E\l
回顾一下 CAPM 模型的公式
\[E\left[ {{R_i}} \right] - {r_f} = \beta \left( {E\left[ {{R_m}} \right] - {r_f}} \right)\\\]
此时也就没有无风险利率 rf，但我们可以等价使用市场组合的零-协方差组合 R_{zc(m)} 的收益率来替代。
E\left[\widetilde{r}_{q}\right]-E\left[\widetilde{r}_{z c(m)}\right]=\beta_{m q}\left(E\left[\widetilde{r}_{m}\right]-E\left[\widetilde{r}_{z c(m)}\right]\right)\\
回顾零-协方差组合的构造：过市场组合做前沿边界的切线交 y 轴于某点，然后过该点作水平线。
此时 CML 为：直+弧+直
其中 rf1 为存款利率，rf2 为贷款利率。分别过 rf1、rf2 作切线，交前沿边界与不同两点，那么此时的 CML 就是图中蓝（无风险+风险）+浅绿（仅风险且不借款）+深绿（借款投资风险）。
前面已经推导过资本市场线的方程
\frac{E\left[\widetilde{r}_{p}\right]-r_{f}}{\sigma\left[\widetilde{r}_{p}\right]}=\sqrt{H}\\
其斜率 \sqrt H 称为 sharpe 比率。
风险厌恶投资者总希望投资的 sharpe 比率越大越好。
根据前一讲的讨论，证券市场线的斜率为
E\left[\widetilde{r}_{m}\right]-r_{f}=\frac{E\left[\widetilde{r}_{q}\right]-r_{f}}{\beta_{q m}}\\
这一斜率为正，记为 Treynor 比率。有时也称为收益-波动率比率。
Treynor 比率反映了 系统性风险 与其 风险补偿 的关系。
比较：
实际应用中，这两个比率经常用于投资经理的业绩度量
实际市场中，资产组合的收益率常常偏离 CAPM 给出的理论收益率，我们用 alpha 指标来度量这种偏离程度：
\alpha=E\left[\widetilde{r}_{i}\right]-\left[r_{f}+\beta_{i m}\left(E\left[\widetilde{r}_{m}\right]-r_{f}\right)\right]\\
如果有资产具有正的 α，不妨记为 A，那么一定会有资产具有负的 α，记为 B。我们可以通过买入 A 卖出 B，将 α 套利出来。
比如 资产 A,B 按照 CAPM 模型给出的收益率相同，所以它们 0 时刻的定价相同，记为1000元。那么我们向某个持有 B 资产的人借入一份 B，然后卖掉它得到 1000 元，用这1000元买入一份 A。到 t 时刻，A 价值 1500 元，B价值 1400 元，我们再将 A 卖掉，然后花 1400 元买一份 B 还给那个人，这样就空手套到 100 元。
问：正的 α 是否会经常出现？
答：市场有效性保证正的 α 不会经常出现。因为一旦出现，就会有大量投资者买入它，从而推高它的价格，使其收益率下降。并且一些正 α 资产在扣除交易费用后，也往往变为负的。
为了估计某个证券的贝塔值，对 SML 进行变换得到
\bar{r}_{i}=r_{f}+\beta_{i}\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)=\alpha_{i}+\beta_{i} \bar{r}_{m}+\varepsilon_{t}\\
然后通过时间序列数据，做线性回归来估计贝塔值。
r_{i, t}=\alpha_{i}+\hat{\beta}_{i} r_{m, t}+\varepsilon_{i, t}\\
可取
r_{i, t}=\ln \frac{S_{i, t}}{S_{i, t-1}} \quad r_{m, t}=\ln \frac{I_{m, t}}{I_{m, t-1}}\\
其中 i 为股票，m 为上证指数
如果一个资产买价为 p（已知），卖价为 q（未知且随机），那么根据收益率的定义，结合 SML 可知
\bar{r}=\frac{\bar{q}-p}{p}=r_{f}+\beta\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)\\
所以 买价 和 卖价的均值 应该满足如下关系
p=\frac{\bar{q}}{1+r_{f}+\beta\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)}\\
其中 r_{f}+\beta\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right) 为风险调整下的利率。
例 某项目期望收益为 1000万，贝塔值为0.6，无风险利率为 10%，市场组合收益为 17%，求该项目的合理定价。
解 套用上面的公式得到
p=\frac{1000}{1.1+0.6(0.17-0.10)}=876\\
进一步地，考察贝塔的定义
\beta=\frac{\operatorname{cov}\left(r_{i}, r_{m}\right)}{\sigma_{m}^{2}}=\frac{\operatorname{cov}\left[(q / p-1), r_{m}\right)}{\sigma_{m}^{2}}=\frac{\operatorname{cov}\left(q, r_{m}\right)}{p \sigma_{m}^{2}}\\
将其代入之前的公式，并整理可以得到
p=\frac{1}{\left(1+r_{f}\right)}\left[\bar{q}-\frac{\operatorname{cov}\left(q, r_{m}\right)\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)}{\sigma_{m}^{2}}\right]\\
从上面式子可以看出，如果该资产是无风险的，那么协方差为 0，只包含前面一项。但如果该资产有风险，那么减去的相当于风险溢价。方括号中的部分称为 q 的确定性等价（即等价于收益率为多少的无风险资产）。
项目选择的准则：计算该项目的确定性等价，然后进行贴现，与其成本进行比较。
N P V=-p+\frac{1}{\left(1+r_{f}\right)}\left[\bar{q}-\frac{\operatorname{cov}\left(q, r_{m}\right)\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)}{\sigma_{m}^{2}}\right]\\
NPV 就是用 q 的确定性等价的贴现减去 p，企业将选择 NPV 最大的项目。
CAPM 优点：
CAPM 缺点：
从 CAPM 模型推导可以看出，将市场组合换成任意非零方差组合，类似的定价公式依然成立。从这个角度启发人们进一步思考：
两方面的原因：
基于多因子模型并结合渐近无套利思想，便可以得到套利定价模型 APT。
形式上看它就是 CAPM 的推广
\[{r_i} = {r_f} + {\beta _1}{f_1} + \cdots + {\beta _n}{f_n}\\\]
根本不同点：APT 基于渐近无套利思想，CAPM 基于效用理论。
假设上的不同：CAPM 的假设非常理想化，而 APT 的假设少得多。其中的一个假设是：个体是非满足的（只需期望效用函数单增即可），每个人都会利用市场上的套利机会，在不增加风险的条件下，提高回报率。
因子模型定义：假设证券的回报率只与不同因子波动（相对数）或者指标的运动有关。
意义：它是 APT 的基础，我们要找出这些因子，并确定收益率对这些因子波动的敏感程度。
根据因子的数量，可分为单因子和多因子模型。
把经济系统的所有相关因素作为总的宏观因素。
假设：
例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。
设证券回报仅仅与市场因子的回报有关
r_{i t}=a_{i}+b_{i m} r_{m t}+\varepsilon_{i t}\\
其中假定噪声与自变量不相关，且噪声期望为 0，不存在序列相关
E\left[\varepsilon_{i t}\right]=0, \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i t}, r_{m t}\right)=0, \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i t}, \varepsilon_{j t}\right)=0\\
从中可以抽象出如下模型（本质还是时间序列数据做回归）
问：如果 f 和残差项不独立怎么办？
答：将残差中与 f 有关的分解出来，合并到 f 中去。
说明：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响。两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子 f 所致。
如果假设不成立，应当增加因子或采取其他措施。
对单因子模型两边取均值得到
\bar{r}_{i}=a_{i}+b_{i} \bar{f}\\
取方差为
\overline{\sigma_{i}^{2}}=b_{i}^{2} \sigma_{f}^{2}+\sigma_{\varepsilon i}^{2}\\
前一部分为因子风险（系统性风险），后一部分为非因子风险（非系统性风险）。
两证券的协方差为
\begin{aligned} \sigma_{i j} &=\operatorname{cov}\left(r_{i}, r_{j}\right)=\operatorname{cov}\left(a_{i}+b_{i} f+\varepsilon_{i}, a_{j}+b_{j} f+\varepsilon_{j}\right) \\ &=b_{i} b_{j} \sigma_{f}^{2} \end{aligned}\\
\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_{p}^{2} &=\lim _{n \rightarrow \infty} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i}\left(a_{i}+b_{i} f+\varepsilon_{i}\right)\right) \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{p}^{2} \sigma_{f}^{2}+\sigma_{\varepsilon p}^{2} \end{aligned}\\
其中 b_{p}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i}, \quad \sigma_{\varepsilon p}^{2}=\sum_{i=1}^{n} w_{i}^{2} \sigma_{\varepsilon i}^{2}
假设残差有界（实际中往往成立）
\sigma_{\varepsilon i}^{2} \leq s^{2}\\
因为组合 p 是高度分散化的，所以每项资产的权重都充分的小
w_{i} \leq \varepsilon\\
那么
\sigma_{\varepsilon p}^{2} \leq \varepsilon s^{2} \sum_{i=1}^{n} w_{i}=\varepsilon s^{2}\\
从而
\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_{p}^{2}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{p}^{2} \sigma_{f}^{2}+\sigma_{\varepsilon p}^{2}=b_{p}^{2} \sigma_{f}^{2}\\
单因子模型虽然简单，但它认为资产的不确定性仅与一个因子有关，实际中是不成立的，难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。
公用事业公司与航空公司，前者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。
下面为只考虑一期的两因子模型
r_{i}=a_{i}+b_{i 1} f_{1}+b_{i 2} f_{2}+\varepsilon_{i}\\
其中 \begin{array}{l} E\left[\varepsilon_{i}\right]=0, \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0 \\ \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i}, f_{1}\right)=0, \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i}, f_{2}\right)=0 \end{array}\\
注意，我们不假定两因子的协方差为 0.
取均值得到\bar{r}_{i}=a_{i}+b_{i 1} \bar{f}_{1}+b_{i 2} \bar{f}_{2}\\
取方差得到
\sigma_{i}^{2}=b_{i 1}^{2} \sigma_{f_{1}}^{2}+b_{i 2}^{2} \sigma_{f_{2}}^{2}+2 b_{i 1} b_{i 2} \operatorname{cov}\left(f_{1}, f_{2}\right)+\sigma_{\varepsilon i}^{2}\\
两证券协方差为
\begin{aligned} \sigma_{i j}=\operatorname{cov}\left(r_{i}, r_{j}\right)=\operatorname{cov}\left(a_{i}+b_{i 1} f_{1}+b_{i 2} f_{2}+\varepsilon_{i}\right.\\ \left.a_{j}+b_{j 1} f_{1}+b_{j 2} f_{2}+\varepsilon_{j}\right) \\ = b_{i 1} b_{j 1} \sigma_{f 1}^{2}+b_{i 2} b_{j 2} \sigma_{f 2}^{2}+\left(b_{i 1} b_{j 2}+b_{i 2} b_{j 1}\right) \operatorname{cov}\left(f_{1}, f_{2}\right) \end{aligned}\\
类似地可以推广到多因子模型。
r_{i}=a+\sum_{j=1}^{m} b_{i j} f_{j}+\varepsilon_{i}\\
其中
\begin{array}{l} E\left[\varepsilon_{i}\right]=0, \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i}, f_{j}\right)=0 \\ \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{k}\right)=0, i \neq k \end{array}\\
定义：套利(Arbitrage）是同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。--不花钱就能挣钱，免费的午餐
两种套利方法：
例 假设现在 6 个月即期年利率为 10%（连续复利,下同），1 年期的即期利率是 12%。如果有人把今后 6 个月到 1 年期的远期利率定为 11%，则有套利机会。
套利过程：
现金流分析：
其中 1 时刻前所有时刻的净现金流为 0，但 1 时刻净赚 17 万，空手套白狼！
无套利原则：两种具有相同风险的资产组合不能以不同的期望收益率出售。
套利行为可以调整价格，最终使得同一资产的价格趋于相等，套利机会消失
由无套利原则，在因子模型下，具有相同因子敏感性的资产（组合）应提供相同的期望收益率。即如果 A 关于因子波动的斜率与 B 的完全一致，那么它们的期望收益定价应该相同，否则有套利机会。
例 假设某充分分散证券组合 C 的系数 β 为 0.5，期望收益率为 E(rc)=6% ,C 位于由rf (rf=4%)与 P（市场组合） 的连接线的下方。
如果以 0.5 权重的 P 及 0.5 权重的 rf 构成一新的投资组合 D，那么 D 的 β 值为
\beta_{D}=\frac{1}{2} \beta_{f}+\frac{1}{2} \beta_{P}=\frac{1}{2} \times 0+\frac{1}{2} \times 1=0.5\\
D 的期望收益为
E\left(r_{D}\right)=\frac{1}{2} r_{f}+\frac{1}{2} E\left(r_{P}\right)=\frac{1}{2} \times 0.04+\frac{1}{2} \times 0.10=0.07\\
由于 D 和 C 的 β 系数一样（价格一样），但预期收益率不一样，所以存在套利机会！对于收益率，我们买高卖低：买入 D 然后向别人借入 C 卖掉。
因此，当市场不存在套利机会（均衡）时，充分分散的证券都应该位于证券市场线上。
E\left(r_{p}\right)=r_{f}+\lambda \beta_{p}\\
所以从套利定价原理也能导出 CAPM 模型。
套利组合的三个特征：
用数学式子表示即为
\left\{\begin{array}{l} \sum_{i=1}^{n} w_{i}=0 --零投资\\ \sum_{i=1}^{n} b_{i} w_{i}=0--无风险 \\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} \bar{r}_{i}>0--正收益 \end{array}\right.\\
其中第二个式子为了使得 D\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i} r_{i}\right)=0 ，具体计算如下
\begin{aligned} D\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i} r_{i}\right) &=D\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i}\left[\bar{r}_{i}+b_{i} f+e_{i}\right]\right)\\ &=D\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i} f\right) \\ &=D(f)\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i}\right)^{2} \end{aligned}\\
假设投资者构造这样的资产组合
设无风险利率为 λ0，两个资产 i 和 j 在因子模型假定下，套利组合收益率为
\begin{aligned} r_{p} &=w\left(\bar{r}_{i}+b_{i} f\right)+(1-w)\left(\bar{r}_{j}+b_{j} f\right)-1 \times \lambda_{0} \\ &=\left[w\left(\bar{r}_{i}-\bar{r}_{j}\right)+\bar{r}_{j}-\lambda_{0}\right]+\left[w\left(b_{i}-b_{j}\right)+b_{j}\right] f \end{aligned}\\
当 w^{*}=-\frac{b_{j}}{b_{i}-b_{j}} 时（斜率为0），该投资组合无风险.
如果无套利机会，则此时该组合的收益为 0
r_{p}=-\frac{b_{j}}{b_{i}-b_{j}}\left(\bar{r}_{i}-\bar{r}_{j}\right)+\bar{r}_{j}-\lambda_{0}=0\\
可得
\frac{\bar{r}_{i}-\lambda_{0}}{b_{i}}=\frac{\bar{r}_{j}-\lambda_{0}}{b_{j}} \triangleq \lambda_{1}=f\\
\bar{r}_{i}=\lambda_{0}+\lambda_{1} b_{i}\\
定理： 假设 n 中资产的收益率由 m 个因子决定。
r_{i}=a_{i}+\sum_{j=1}^{m} b_{i j} f_{j}\\
\overline{r_{i}}=\lambda_{0}+\sum_{j=1}^{m} b_{i j} \lambda_{j}\\
其中 λ 为因子收益率，bij 为风险暴露。
证明：零投资且无风险组合的权重应该满足
\left\{\begin{array}{l} \sum_{i=1}^{n} w_{i}=\mathbf{w}^{T} \mathbf{1}=0 \\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i 1}=\mathbf{w}^{T} \mathbf{b}_{1}=0 \\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i 2}=\mathbf{w}^{T} \mathbf{b}_{2}=0 \\ \vdots \quad \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i m}=\mathbf{w}^{T} \mathbf{b}_{m}=0 \end{array}\right.\\
如果市场是有效的，那么该组合无套利，即
\sum_{i=1}^{n} w_{i} \bar{r}_{i}=\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \overline{\mathbf{r}}=0\\
这也就是说，只要
\mathbf{w} \perp \mathbf{1}, \mathbf{w} \perp \mathbf{b}_{i}, j=1, \ldots, m\\
就有 \mathbf{w} \perp \overline{\mathbf{r}} ，说明 \overline{\mathbf{r}} 位于 \mathbf{1} 和 \mathbf{b}_{i} 张成的平面中，即存在常数 λj 使得
\overline{\mathbf{r}}=\lambda_{0} \mathbf{1}+\lambda_{1} \mathbf{b}_{1}+\lambda_{2} \mathbf{b}_{2}+\ldots,+\lambda_{m} \mathbf{b}_{m}\\
这是一个非常漂亮的结论。但定理所需附加的条件也极为严格：多因子模型的残差项为零。
从经济学意义上说，这样的假设要求风险资产的风险只来源于系统性风险，而不存在非系统性风险。这样的假设显然是不合理的。
下面的定理放松了残差项为零的假设，尝试得到相似的结论。当然，此时的结论也相应地变弱:线性定价公式只是对大部分资产近似地成立。
我们首先要对无套利概念进行相应的推广。
极限意义下的套利机会是指这样一个自融资套利组合序列，它们的期望收益率有严格大于零的下界，同时方差收敛于0。严格来说，满足以下三条：
这样的资产组合几乎是免费的午餐，因为它的风险是无穷小的。
下面假设市场中不存在渐近套利机会，由此得到渐近线性定价公式。首先给出下面这个引理：
引理 对任意正数 ε，存在正整数 N，使得对任意子市场 Mn，除了至多 N 个资产为，其余的资产均满足
\left|\alpha_{i}^{n}-\left(1-\sum_{l=1}^{K} \beta_{i l}^{n}\right) r_{f}\right|<\varepsilon\\
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4.2 CAPM 的扩展
回顾一下 CAPM 模型的公式
\[E\left[ {{R_i}} \right] - {r_f} = \beta \left( {E\left[ {{R_m}} \right] - {r_f}} \right)\\\]
4.2.1 没有无风险资产--Black 公式
此时也就没有无风险利率 rf，但我们可以等价使用市场组合的零-协方差组合 R_{zc(m)} 的收益率来替代。
E\left[\widetilde{r}_{q}\right]-E\left[\widetilde{r}_{z c(m)}\right]=\beta_{m q}\left(E\left[\widetilde{r}_{m}\right]-E\left[\widetilde{r}_{z c(m)}\right]\right)\\
回顾零-协方差组合的构造：过市场组合做前沿边界的切线交 y 轴于某点，然后过该点作水平线。
4.2.2 借入、贷出利率不同
此时 CML 为：直+弧+直
其中 rf1 为存款利率，rf2 为贷款利率。分别过 rf1、rf2 作切线，交前沿边界与不同两点，那么此时的 CML 就是图中蓝（无风险+风险）+浅绿（仅风险且不借款）+深绿（借款投资风险）。
4.3 CAPM 的应用
4.3.1 资本市场线和 Sharpe 比率
前面已经推导过资本市场线的方程
\frac{E\left[\widetilde{r}_{p}\right]-r_{f}}{\sigma\left[\widetilde{r}_{p}\right]}=\sqrt{H}\\
其斜率 \sqrt H 称为 sharpe 比率。
风险厌恶投资者总希望投资的 sharpe 比率越大越好。
4.3.2 证券市场线和 Treynor 比率
根据前一讲的讨论，证券市场线的斜率为
E\left[\widetilde{r}_{m}\right]-r_{f}=\frac{E\left[\widetilde{r}_{q}\right]-r_{f}}{\beta_{q m}}\\
这一斜率为正，记为 Treynor 比率。有时也称为收益-波动率比率。
Treynor 比率反映了 系统性风险 与其 风险补偿 的关系。
比较：
4.3.3 Jensen's alpha指标
实际市场中，资产组合的收益率常常偏离 CAPM 给出的理论收益率，我们用 alpha 指标来度量这种偏离程度：
\alpha=E\left[\widetilde{r}_{i}\right]-\left[r_{f}+\beta_{i m}\left(E\left[\widetilde{r}_{m}\right]-r_{f}\right)\right]\\
如果有资产具有正的 α，不妨记为 A，那么一定会有资产具有负的 α，记为 B。我们可以通过买入 A 卖出 B，将 α 套利出来。
问：正的 α 是否会经常出现？
答：市场有效性保证正的 α 不会经常出现。因为一旦出现，就会有大量投资者买入它，从而推高它的价格，使其收益率下降。并且一些正 α 资产在扣除交易费用后，也往往变为负的。
4.3.4 CAPM 的应用：从规范到实证
（一）如何估计贝塔系数
为了估计某个证券的贝塔值，对 SML 进行变换得到
\bar{r}_{i}=r_{f}+\beta_{i}\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)=\alpha_{i}+\beta_{i} \bar{r}_{m}+\varepsilon_{t}\\
然后通过时间序列数据，做线性回归来估计贝塔值。
r_{i, t}=\alpha_{i}+\hat{\beta}_{i} r_{m, t}+\varepsilon_{i, t}\\
可取
r_{i, t}=\ln \frac{S_{i, t}}{S_{i, t-1}} \quad r_{m, t}=\ln \frac{I_{m, t}}{I_{m, t-1}}\\
其中 i 为股票，m 为上证指数
（二）如何进行项目选择
如果一个资产买价为 p（已知），卖价为 q（未知且随机），那么根据收益率的定义，结合 SML 可知
\bar{r}=\frac{\bar{q}-p}{p}=r_{f}+\beta\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)\\
所以 买价 和 卖价的均值 应该满足如下关系
p=\frac{\bar{q}}{1+r_{f}+\beta\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)}\\
其中 r_{f}+\beta\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right) 为风险调整下的利率。
例 某项目期望收益为 1000万，贝塔值为0.6，无风险利率为 10%，市场组合收益为 17%，求该项目的合理定价。
解 套用上面的公式得到
p=\frac{1000}{1.1+0.6(0.17-0.10)}=876\\
进一步地，考察贝塔的定义
\beta=\frac{\operatorname{cov}\left(r_{i}, r_{m}\right)}{\sigma_{m}^{2}}=\frac{\operatorname{cov}\left[(q / p-1), r_{m}\right)}{\sigma_{m}^{2}}=\frac{\operatorname{cov}\left(q, r_{m}\right)}{p \sigma_{m}^{2}}\\
将其代入之前的公式，并整理可以得到
p=\frac{1}{\left(1+r_{f}\right)}\left[\bar{q}-\frac{\operatorname{cov}\left(q, r_{m}\right)\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)}{\sigma_{m}^{2}}\right]\\
从上面式子可以看出，如果该资产是无风险的，那么协方差为 0，只包含前面一项。但如果该资产有风险，那么减去的相当于风险溢价。方括号中的部分称为 q 的确定性等价（即等价于收益率为多少的无风险资产）。
项目选择的准则：计算该项目的确定性等价，然后进行贴现，与其成本进行比较。
N P V=-p+\frac{1}{\left(1+r_{f}\right)}\left[\bar{q}-\frac{\operatorname{cov}\left(q, r_{m}\right)\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)}{\sigma_{m}^{2}}\right]\\
NPV 就是用 q 的确定性等价的贴现减去 p，企业将选择 NPV 最大的项目。
4.4 Ross 套利定价理论
4.4.0 背景
CAPM 优点：
CAPM 缺点：
从 CAPM 模型推导可以看出，将市场组合换成任意非零方差组合，类似的定价公式依然成立。从这个角度启发人们进一步思考：
两方面的原因：
基于多因子模型并结合渐近无套利思想，便可以得到套利定价模型 APT。
形式上看它就是 CAPM 的推广
\[{r_i} = {r_f} + {\beta _1}{f_1} + \cdots + {\beta _n}{f_n}\\\]
根本不同点：APT 基于渐近无套利思想，CAPM 基于效用理论。
假设上的不同：CAPM 的假设非常理想化，而 APT 的假设少得多。其中的一个假设是：个体是非满足的（只需期望效用函数单增即可），每个人都会利用市场上的套利机会，在不增加风险的条件下，提高回报率。
因子模型定义：假设证券的回报率只与不同因子波动（相对数）或者指标的运动有关。
意义：它是 APT 的基础，我们要找出这些因子，并确定收益率对这些因子波动的敏感程度。
根据因子的数量，可分为单因子和多因子模型。
4.4.1 单因子模型
把经济系统的所有相关因素作为总的宏观因素。
假设：
设证券回报仅仅与市场因子的回报有关
r_{i t}=a_{i}+b_{i m} r_{m t}+\varepsilon_{i t}\\
其中假定噪声与自变量不相关，且噪声期望为 0，不存在序列相关
E\left[\varepsilon_{i t}\right]=0, \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i t}, r_{m t}\right)=0, \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i t}, \varepsilon_{j t}\right)=0\\
从中可以抽象出如下模型（本质还是时间序列数据做回归）
关于 f 和残差项独立的假设：
问：如果 f 和残差项不独立怎么办？
答：将残差中与 f 有关的分解出来，合并到 f 中去。
关于残差项之间独立的假设：
说明：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响。两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子 f 所致。
如果假设不成立，应当增加因子或采取其他措施。
对单因子模型两边取均值得到
\bar{r}_{i}=a_{i}+b_{i} \bar{f}\\
取方差为
\overline{\sigma_{i}^{2}}=b_{i}^{2} \sigma_{f}^{2}+\sigma_{\varepsilon i}^{2}\\
前一部分为因子风险（系统性风险），后一部分为非因子风险（非系统性风险）。
两证券的协方差为
\begin{aligned} \sigma_{i j} &=\operatorname{cov}\left(r_{i}, r_{j}\right)=\operatorname{cov}\left(a_{i}+b_{i} f+\varepsilon_{i}, a_{j}+b_{j} f+\varepsilon_{j}\right) \\ &=b_{i} b_{j} \sigma_{f}^{2} \end{aligned}\\
单因子模型优点
（1）计算量大大减少
（2）风险分散化
\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_{p}^{2} &=\lim _{n \rightarrow \infty} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i}\left(a_{i}+b_{i} f+\varepsilon_{i}\right)\right) \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{p}^{2} \sigma_{f}^{2}+\sigma_{\varepsilon p}^{2} \end{aligned}\\
其中 b_{p}=\sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i}, \quad \sigma_{\varepsilon p}^{2}=\sum_{i=1}^{n} w_{i}^{2} \sigma_{\varepsilon i}^{2}
假设残差有界（实际中往往成立）
\sigma_{\varepsilon i}^{2} \leq s^{2}\\
因为组合 p 是高度分散化的，所以每项资产的权重都充分的小
w_{i} \leq \varepsilon\\
那么
\sigma_{\varepsilon p}^{2} \leq \varepsilon s^{2} \sum_{i=1}^{n} w_{i}=\varepsilon s^{2}\\
从而
\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_{p}^{2}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{p}^{2} \sigma_{f}^{2}+\sigma_{\varepsilon p}^{2}=b_{p}^{2} \sigma_{f}^{2}\\
4.4.2 多因子模型
单因子模型虽然简单，但它认为资产的不确定性仅与一个因子有关，实际中是不成立的，难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。
下面为只考虑一期的两因子模型
r_{i}=a_{i}+b_{i 1} f_{1}+b_{i 2} f_{2}+\varepsilon_{i}\\
其中 \begin{array}{l} E\left[\varepsilon_{i}\right]=0, \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0 \\ \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i}, f_{1}\right)=0, \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i}, f_{2}\right)=0 \end{array}\\
注意，我们不假定两因子的协方差为 0.
取均值得到\bar{r}_{i}=a_{i}+b_{i 1} \bar{f}_{1}+b_{i 2} \bar{f}_{2}\\
取方差得到
\sigma_{i}^{2}=b_{i 1}^{2} \sigma_{f_{1}}^{2}+b_{i 2}^{2} \sigma_{f_{2}}^{2}+2 b_{i 1} b_{i 2} \operatorname{cov}\left(f_{1}, f_{2}\right)+\sigma_{\varepsilon i}^{2}\\
两证券协方差为
\begin{aligned} \sigma_{i j}=\operatorname{cov}\left(r_{i}, r_{j}\right)=\operatorname{cov}\left(a_{i}+b_{i 1} f_{1}+b_{i 2} f_{2}+\varepsilon_{i}\right.\\ \left.a_{j}+b_{j 1} f_{1}+b_{j 2} f_{2}+\varepsilon_{j}\right) \\ = b_{i 1} b_{j 1} \sigma_{f 1}^{2}+b_{i 2} b_{j 2} \sigma_{f 2}^{2}+\left(b_{i 1} b_{j 2}+b_{i 2} b_{j 1}\right) \operatorname{cov}\left(f_{1}, f_{2}\right) \end{aligned}\\
类似地可以推广到多因子模型。
r_{i}=a+\sum_{j=1}^{m} b_{i j} f_{j}+\varepsilon_{i}\\
其中
\begin{array}{l} E\left[\varepsilon_{i}\right]=0, \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i}, f_{j}\right)=0 \\ \operatorname{cov}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{k}\right)=0, i \neq k \end{array}\\
4.4.3 套利定价理论 APT
（一）定义及套利的例子
定义：套利(Arbitrage）是同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。--不花钱就能挣钱，免费的午餐
两种套利方法：
例 假设现在 6 个月即期年利率为 10%（连续复利,下同），1 年期的即期利率是 12%。如果有人把今后 6 个月到 1 年期的远期利率定为 11%，则有套利机会。
套利过程：
现金流分析：
其中 1 时刻前所有时刻的净现金流为 0，但 1 时刻净赚 17 万，空手套白狼！
无套利原则：两种具有相同风险的资产组合不能以不同的期望收益率出售。
（二）APT的基本原理
由无套利原则，在因子模型下，具有相同因子敏感性的资产（组合）应提供相同的期望收益率。即如果 A 关于因子波动的斜率与 B 的完全一致，那么它们的期望收益定价应该相同，否则有套利机会。
例 假设某充分分散证券组合 C 的系数 β 为 0.5，期望收益率为 E(rc)=6% ,C 位于由rf (rf=4%)与 P（市场组合） 的连接线的下方。
如果以 0.5 权重的 P 及 0.5 权重的 rf 构成一新的投资组合 D，那么 D 的 β 值为
\beta_{D}=\frac{1}{2} \beta_{f}+\frac{1}{2} \beta_{P}=\frac{1}{2} \times 0+\frac{1}{2} \times 1=0.5\\
D 的期望收益为
E\left(r_{D}\right)=\frac{1}{2} r_{f}+\frac{1}{2} E\left(r_{P}\right)=\frac{1}{2} \times 0.04+\frac{1}{2} \times 0.10=0.07\\
由于 D 和 C 的 β 系数一样（价格一样），但预期收益率不一样，所以存在套利机会！对于收益率，我们买高卖低：买入 D 然后向别人借入 C 卖掉。
因此，当市场不存在套利机会（均衡）时，充分分散的证券都应该位于证券市场线上。
E\left(r_{p}\right)=r_{f}+\lambda \beta_{p}\\
所以从套利定价原理也能导出 CAPM 模型。
（三）APT 的基本假设
（四）构造套利组合
套利组合的三个特征：
用数学式子表示即为
\left\{\begin{array}{l} \sum_{i=1}^{n} w_{i}=0 --零投资\\ \sum_{i=1}^{n} b_{i} w_{i}=0--无风险 \\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} \bar{r}_{i}>0--正收益 \end{array}\right.\\
其中第二个式子为了使得 D\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i} r_{i}\right)=0 ，具体计算如下
\begin{aligned} D\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i} r_{i}\right) &=D\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i}\left[\bar{r}_{i}+b_{i} f+e_{i}\right]\right)\\ &=D\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i} f\right) \\ &=D(f)\left(\sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i}\right)^{2} \end{aligned}\\
（1）两资产套利定价模型
假设投资者构造这样的资产组合
设无风险利率为 λ0，两个资产 i 和 j 在因子模型假定下，套利组合收益率为
\begin{aligned} r_{p} &=w\left(\bar{r}_{i}+b_{i} f\right)+(1-w)\left(\bar{r}_{j}+b_{j} f\right)-1 \times \lambda_{0} \\ &=\left[w\left(\bar{r}_{i}-\bar{r}_{j}\right)+\bar{r}_{j}-\lambda_{0}\right]+\left[w\left(b_{i}-b_{j}\right)+b_{j}\right] f \end{aligned}\\
当 w^{*}=-\frac{b_{j}}{b_{i}-b_{j}} 时（斜率为0），该投资组合无风险.
如果无套利机会，则此时该组合的收益为 0
r_{p}=-\frac{b_{j}}{b_{i}-b_{j}}\left(\bar{r}_{i}-\bar{r}_{j}\right)+\bar{r}_{j}-\lambda_{0}=0\\
可得
\frac{\bar{r}_{i}-\lambda_{0}}{b_{i}}=\frac{\bar{r}_{j}-\lambda_{0}}{b_{j}} \triangleq \lambda_{1}=f\\
\bar{r}_{i}=\lambda_{0}+\lambda_{1} b_{i}\\
（2）无误差的套利定价模型
定理： 假设 n 中资产的收益率由 m 个因子决定。
r_{i}=a_{i}+\sum_{j=1}^{m} b_{i j} f_{j}\\
那么
\overline{r_{i}}=\lambda_{0}+\sum_{j=1}^{m} b_{i j} \lambda_{j}\\
其中 λ 为因子收益率，bij 为风险暴露。
证明：零投资且无风险组合的权重应该满足
\left\{\begin{array}{l} \sum_{i=1}^{n} w_{i}=\mathbf{w}^{T} \mathbf{1}=0 \\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i 1}=\mathbf{w}^{T} \mathbf{b}_{1}=0 \\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i 2}=\mathbf{w}^{T} \mathbf{b}_{2}=0 \\ \vdots \quad \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} b_{i m}=\mathbf{w}^{T} \mathbf{b}_{m}=0 \end{array}\right.\\
如果市场是有效的，那么该组合无套利，即
\sum_{i=1}^{n} w_{i} \bar{r}_{i}=\mathbf{w}^{\mathrm{T}} \overline{\mathbf{r}}=0\\
这也就是说，只要
\mathbf{w} \perp \mathbf{1}, \mathbf{w} \perp \mathbf{b}_{i}, j=1, \ldots, m\\
就有 \mathbf{w} \perp \overline{\mathbf{r}} ，说明 \overline{\mathbf{r}} 位于 \mathbf{1} 和 \mathbf{b}_{i} 张成的平面中，即存在常数 λj 使得
\overline{\mathbf{r}}=\lambda_{0} \mathbf{1}+\lambda_{1} \mathbf{b}_{1}+\lambda_{2} \mathbf{b}_{2}+\ldots,+\lambda_{m} \mathbf{b}_{m}\\
这是一个非常漂亮的结论。但定理所需附加的条件也极为严格：多因子模型的残差项为零。
从经济学意义上说，这样的假设要求风险资产的风险只来源于系统性风险，而不存在非系统性风险。这样的假设显然是不合理的。
下面的定理放松了残差项为零的假设，尝试得到相似的结论。当然，此时的结论也相应地变弱:线性定价公式只是对大部分资产近似地成立。
我们首先要对无套利概念进行相应的推广。
极限意义下的套利机会是指这样一个自融资套利组合序列，它们的期望收益率有严格大于零的下界，同时方差收敛于0。严格来说，满足以下三条：
这样的资产组合几乎是免费的午餐，因为它的风险是无穷小的。
下面假设市场中不存在渐近套利机会，由此得到渐近线性定价公式。首先给出下面这个引理：
引理 对任意正数 ε，存在正整数 N，使得对任意子市场 Mn，除了至多 N 个资产为，其余的资产均满足
\left|\alpha_{i}^{n}-\left(1-\sum_{l=1}^{K} \beta_{i l}^{n}\right) r_{f}\right|<\varepsilon\\
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