1和0.9的无限循环哪个大？简单的数学题曾引发人类数学危机！

最让人纠结的等式，拥有多彩的论证形式

“0.999…=1吗?”很多人在小学和中学时都遇到过这个问题，并且现在国内外网站上关于这个问题的讨论仍然很多，认为0.999…=1和0.999…<1的两派都有自己的理由。

认为0.999…=1的人常给出下面三种证明方法：

证法1（最简单的“证明”）：0.111…=1/9,0.222…=2/9，…,0.999…=9/9=1；或者0.333…=1/3，两边同时乘以3，得到0.999…=1。

调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。仔细想想你会发现，“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致，它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样，“0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在，问题并没有解决。

证法2（“充满争议的证明”）：设0.999…=x，则10x=9.999…；两边同时减去x，得10x-x=9.999…-0.999…；化简，得9x=9，解得x=1；所以，0.999…=x=1。

有专家在看到这个证明后如此评价：“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性。他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。”

证法3：若0.999…不等于1，假设0.999…<1，则0.999…<(0.999…+1)/2<1。记t=(0.999…+1)/2，则0.999…<t<1，则t的整数部分小于1，t只能写成0.999…的形式，所以t=0.999…。这与“两个不相等的数的均值必在这两个不相等的数之间”矛盾，所以0.999…=1。

但认为0.999…<1的人对上述三种证明方法表示怀疑，因为这三种证明方法都是基于数学事实“无限循环小数是分数的另一种表示”，将无限循环小数0.999…看作是分数9/9（=1）的另一种表示，就像0.111…是1/9的另一种表示一样。对整数1，我们在计算1/1时，首商0，然后添加小数点，后面就只能继续商9，最后得到1=1/1=0.999…。这只是一种除法运算，并没有真正证明“0.999…=1”。

也有人用无限等比数列求和的方法证实或证伪0.999…=1:

0.9=9/10，0.99=9/10+1/100,0.999=9/10+9/100+9/1000,…,

0.999…=9/10+9/100+9/1000+…+9/10ⁿ=[9/10*(1-1/10ⁿ)]/(1-1/10)=1-1/10ⁿ。

下面看一下图像证明法：

在这张图中，我们可以很清晰地看到边长为1的正方形被不断地对半切割开来，而它的面积为1。但是依然有人质疑这种方法，因为这种方法看起来并不完美。实际上大正方形的右上角是永远无法被填满的。

这个问题的背后，是不同数学体系的碰撞

上述两种说法都看似有道理，但0.999…要么等于1，要么不等于1，不可能同时出现两种结果。

这里出现分歧的原因是对无穷小的认识不同，这也是第二次数学危机中争论的焦点：无穷小究竟是否等于0？无穷小量是一个变量，而在用无穷等比数列求和的证明方法中，左边0.999…是一个常量，右边无限数列求和得到的表达式是一个变量，所以上述证明过程是无效的。

那么如何证明“0.999…=1”呢？这就需要用到戴德金切割定理，也称实数完备性定理：对两个实数集A，B， A中的任意元素a小于B中的任意元素b，则A和B构成实数集R的一个切割，则或者实数集A有最大数，或者实数集B有最小数。

戴德金切割定理同样适用于有理数。根据戴德金切割定理，可证明有理数集Q的一种分割确定唯一一个有理数，且相同的分割确定的有理数相同。可以证明0.999…和1确定的有理数集的分割相同，从而0.999…=1。

戴德金分割证明如下：

我们可以尝试在1和0.9循环分别进行分割，分割成集合A集合B，和集合C集合D。

A等于C或B等于D，那么别可以证明1和0.9循环相等。

在证明A是C的子集时，我们可以先讨论有理数。然后再利用无理数分割后上无最小有理数。知道一定有有理数大于讨论的无理数但小于0.9循环。

物理角度的再认识

1.、无限的意义是什么？

0.9的无限循环真的可以吗？如果让一个数学家去回答这个问题，答案当然就是肯定的，这没毛病。然后把这个问题抛给一个物理学家去回答的话，物理学家会陷入沉思，并且告诉你，这需要通过实验去验证。

在物理学中，由于0.9不能无限循环，因此0.9的循环和1拥有完全不同的物理意义，它们是不相等的，0.9的循环小于1。

2、有质量的物质的运动速度不能达到光速

高中物理课上，我们都接触过狭义相对论中的洛伦兹协变公式。在质速方程式中我们可以看到，任何一个有质量的物体，如果速度被加速到接近光速，那么它的质量将变得无穷大。我们当然是没有那么多的能量能办到这种事。如果把光速看做是1的话，即使是一个电子我们也只能是把它加速到0.9的无限循环，但永远都不可能等于1,。因为，这要消耗掉整个宇宙的能量。所以1和0.9的循环有着本质的区别。

如果我们把0.9的无限循环看做是我们现在这个宇宙的曲率，那么即使它是无限接近于1的，也意味着，我们的这个宇宙是个封闭的宇宙。当宇宙的曲率等于一时，我们就是一个平坦的开放的宇宙。这是完全不同的两种情况。数学家不应该让0.9的无限循环等于1。

关于无限小是不是有意义的问题也引起了一大批统计学家的关注，今年年初三位统计学家联名发在《自然》杂志上发表了一封公开信，质疑了统计学课本中写到的：“没有统计显著性则不能‘证明’零假设（关于两组之间无差或者两个实验组和对照组的假设）。同时，统计显著性也不能‘证明’其他假设。”。他们表示，这种误解用夸大的观点扭曲了文献，而且导致了一些研究之间的冲突。这一质疑迅速得到了，超过800名科学家的支持。

《自然》杂志连续刊发了超过40篇论文都是关于：“21世纪统计推断：P＜0.05以外的世界”的学术论文。这三位科学家指出，他们并不是要禁止P值的使用，而是提议在常规的二分法的情况下不使用P值来决定一个结果是否反驳一个科学假设。其实如果让0.9的无限循环等于1，相当于在数学上正是否定了0.1的无限次方这个无穷小量的真正意义。

这一争议引发类似的数学界的争议，引发第二次数学危机

经典的芝诺悖论，这也算是物理学界的一个争议，阿基里斯与乌龟芝诺赛跑，乌龟在阿里斯基前面先跑100米，然后阿基里斯才开始跑。

其实这一争议的实质就是数学上所谓的第二次数学危机的问题。早在公元前450年，芝诺就注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论。到了17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。

直到19世纪20年代，威尔斯特拉斯在前人工作的基础上，消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。然而关于无穷小量的争议并没有因此就结束，关于第二次数学危机，自其爆发开始直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。

结语

正如高斯所说数只是我们心灵的产物 。但是我觉得也许这一切会因为数学的发展而改变，就像无理数实数的出现一样。也许有一天，我们能够公理化的形容无穷小。在那一天，我们就能更好的对待0.9循环和1的区别了。

其实本文并不是一个简单的0.9的无限循环是否等于1这个问题的争论，我想说明的问题是：如果我们不能给数学赋予一定的意义，那么数学存在的意义是什么？科学向来讲究的是求真、求实，向客观存在探讨真理是科学的本质。希望有一天科学家能够找到最终答案，在0.9的无限循环这个问题面前不再彷徨。