高等数学，同济版里有详解。。

反函数，x替换y，y替换x

双曲正弦函数shx=[e^x - e^(-x)] / 2
替换
x=[e^y - e^(-y)] / 2
令u=e^y
u^2-2xu-1=0
u=x±√(x^2+1)
因为u=e^x＞0
所以u=x+√(x^2+1)
由于y=lnu
所以y=ln[x+√(x^2+1)]

∵shx=[e^x-e^(-x)]/2
=[(e^x)^2-1]/(2e^x)
∴令y=[(e^x)^2-1]/(2e^x)
2ye^x=(e^x)^2-1
(e^x)^2-2ye^x-1=0
把e^x视为一个整体，并配成完全平方：
[(e^x)^2-2ye^x+y^2]-y^2-1=0
(e^x-y)^2=y^2+1
e^x-y=±√(y^2+1)
e^x=y±√(y^2+1)
∵e^x>0，而y<√(y^2+1)
∴e^x=y+√(y^2+1)
x=ln[y+√(y^2+1)]
根据习惯，将x、y交换，得到：
y=ln[x+√(x^2+1)]
即：反双曲正弦函数：arshx=ln[x+√(x^2+1)]