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求f(x)=(x^2-1)^3的单调性和极值
2022-11-07 10:00
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解:f(-x)=[(-x)²-1]³=(x²-1)³=f(x),是偶函数。对称轴x=0,即函数关于y轴对称。 取a>b≥
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1楼 · 2022-11-07 10:32.
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解:f(-x)=[(-x)²-1]³=(x²-1)³=f(x),是偶函数。对称轴x=0,即函数关于y轴对称。
取a>b≥1,f(a)-f(b)=(a²-1)³-(b²-1)³=[(a²-1)-(b²-1)][(a²-1)²+(a²-1)(b²-1)+(b²-1)²]=(a²-b²)[(a²)²-2a²+1+a²b²-a²-b²+1+(b²)²-2b²+1];
∵a>b≥1,∴a²-b²=(a+b)(a-b)>0;而a²-1>0,b²-1>0,即:(a²-1)²+(a²-1)(b²-1)+(b²-1)²>0,也就是说在x∈[1,+∞)时,函数单调递增;根据对称性可知,x∈(-∞,-1]时,函数单调递减。
另外,在x∈(0,1)时,取值a>b,同样可算出:f(a)-f(b)=(a²-1)³-(b²-1)³=[(a²-1)-(b²-1)][(a²-1)²+(a²-1)(b²-1)+(b²-1)²]>0,【a²-1<0,b²-1<0,∴(a²-1)(b²-1)>0】,即在区间x∈(0,1)时,函数也是单调递增的,x=1时,函数f(x=1)=(1²-1)³=0,函数在实数轴有意义。
即函数f(x)的图象是一个和y=x²类似的图象,存在极小值f(x=0)=(0²-1)³=-1;
函数在x∈(-∞,0)单调递减,在x∈(0,+∞)单调递增。
极值正无限和负一。负无限到零上减。零到正无限上增。
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取a>b≥1,f(a)-f(b)=(a²-1)³-(b²-1)³=[(a²-1)-(b²-1)][(a²-1)²+(a²-1)(b²-1)+(b²-1)²]=(a²-b²)[(a²)²-2a²+1+a²b²-a²-b²+1+(b²)²-2b²+1];
∵a>b≥1,∴a²-b²=(a+b)(a-b)>0;而a²-1>0,b²-1>0,即:(a²-1)²+(a²-1)(b²-1)+(b²-1)²>0,也就是说在x∈[1,+∞)时,函数单调递增;根据对称性可知,x∈(-∞,-1]时,函数单调递减。
另外,在x∈(0,1)时,取值a>b,同样可算出:f(a)-f(b)=(a²-1)³-(b²-1)³=[(a²-1)-(b²-1)][(a²-1)²+(a²-1)(b²-1)+(b²-1)²]>0,【a²-1<0,b²-1<0,∴(a²-1)(b²-1)>0】,即在区间x∈(0,1)时,函数也是单调递增的,x=1时,函数f(x=1)=(1²-1)³=0,函数在实数轴有意义。
即函数f(x)的图象是一个和y=x²类似的图象,存在极小值f(x=0)=(0²-1)³=-1;
函数在x∈(-∞,0)单调递减,在x∈(0,+∞)单调递增。
极值正无限和负一。负无限到零上减。零到正无限上增。
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