聊一聊期权定价(结合复旦真题)

2023-02-21 16:48发布

首先明确一点,期权的二叉树/风险中性定价其实不难,理解之后解题非常快。但是,学习一定要把握本质和核心,比如学宏观金融里的理论模型,把握不住理论假设、前提条件,问
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1楼 · 2023-02-21 17:41.采纳回答

首先明确一点,期权的二叉树/风险中性定价其实不难,理解之后解题非常快。但是,学习一定要把握本质和核心,比如学宏观金融里的理论模型,把握不住理论假设、前提条件,问题就会很多,平时的答疑也凸显了这一点。所有的定价,核心就是均衡、无套利,期权定价里风险中性源于二叉树,二叉树的点把握一个就可以了:构建无风险组合,什么是无风险,也就是上行下行组合的损益要相等,才可以用无风险利率rf折现。

我们来看一个具体的例子:股票当前价格为20美元,3个月后,股票价格会变为22美元或18美元,无风险利率为每年12%,求看涨期权的价格。

一、 股票+看涨期权的组合

出发点:组合的损益在上行下行的时候要相等,如果股票和看涨期权同时多头,上行的收益肯定大于下行的收益。同理,股票和看涨期权同时空头也不行。那么,股票和看涨期权肯定一个是多头,一个是空头,我们先说股票多头,看涨期权空头。

(一) 股票多头+看涨期权空头

设我们的组合是:H股股票多头+1份看涨空头,22H-1=18H-0,可得H=(1-0)/(22-18)=0.25,即0.25股股票多头+1份看涨期权空头,上下行组合收益都等于4.5,无风险。基于无套利,收益的现值等于零时点的成本,0时点构造“0.25股股票多头+1份看涨期权空头”的成本为0.25*20-C=5-C=PV(4.5)=4.5/(1+3%),C=0.6311。期权定价一定要注意步长,这里步长是3个月,年化rf=12%,所以期间利率是12%/4=3%。

这里,大家也可以基于NPV=0去计算,投资这个组合的净现值为零,那就需要把现金流入和流出的符号加上去:

NPV=-0.25*20+C+PV(4.5)=0,C=0.6311,零时点股票多头,需要花钱买,所以现金流计负号,期权空头,卖出期权,得到C,是现金流入,计正号。

(二) 股票空头+看涨期权多头

设我们的组合是:H股股票空头+1份看涨多头,组合到期之后上下行的损益要想等,-22H+1=-18H+0,H=0.25,即“0.25股股票空头+1份看涨多头”,上下行的损益都为-4.5。零时点,组合的成本是多少呢?注意卖空股票是一笔现金流入,冲低成本,所以成本是C-5。基于无套利,C-5=PV(-4.5),C=0.6311。

同理,大家也可以基于NPV=0去计算,投资这个组合的净现值为零,那就需要把现金流入和流出的符号加上去:

零时点,卖空0.25股股票,得到5,持有一份看涨的多头,-C,NPV=0意味着5-C+PV(-4.5)=0,计算可得C=0.6311。

二、 股票+看涨期权+无风险债券的组合(以rf借入和借出)

我们用股票的多头和看涨期权的空头来说,这份组合到期的收益是4.5,现值=4.5/1.03=4.3689,如果我们零时点没有本金,那就需要借入一笔钱,所以这个时候我们的组合为“0.25股股票的多头+1份看涨期权的空头+借入4.3689(卖空无风险债券)”,这样的一个组合到期之后,到期需要还本息和4.5,股价上下行组合的损益都等于零。基于无套利,组合在零时点的净现金流也为零,或者说成本为零,0.25*20-C-4.3689=0,C=0.6311。

三、 风险中性定价:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/80760365 ,得出上下行概率之后,分别乘以上下行期权的收益,折现到0时点,即期权的价格。注意,这个概率P并不是期权实际价格变动的概率,而是基于二叉树推出来的。

四、 练习:复旦的真题

某一股票价格在期末价格有两种可能,150元或90元。该股票的卖出期权的执行价格是110元,该股票的期初价格为95元。

(1)若投资者用卖出期权对冲,则一股股票需要多少卖出期权?

(2)购买一股购买并进行Puts期权对冲,则资产组合期末价值是多少?

(3)当期权价格为多少时候组合回报率将为10%?

这道题非常简单,但是考的时候,一些同学就没有转过来,通常我们说的是一份期权+H股股票,这里H一般小于1。这里第一小问问的是1股股票+多少份期权,其实道理是一样的,把握核心:构建无风险组合,什么是无风险,也就是上行下行组合的损益要相等,才可以用无风险利率rf折现。

这里是看跌期权,看跌期权组合的构造我们这里就不细讲了,道理和看涨一样,看跌的时候,看跌期权和股票的头寸一致。假设需要“1股股票多头+X份看跌期权多头”,股价上行,看跌期权多头的收益为零,股价下行,看跌期权多头的收益为20。组合上下行损益相等,150+X*0=90+20*X,可得X=3,所以需要3份看跌期权来对冲。上行,收益150,下行收益90+3*20=150。第3问,给rf之后,就是简单的定价了,核心是无套利:收益的现值等于零时点的成本,“1股股票多头+3份看跌期权多头”的成本=95+3P=PV(150)=150/1.1,得出P=13.79。