01．整除特征在数论体系中的地位

小学奥数七大体系中，数论体系可按以下18个讲次来教学——

1. 奇数与偶数
2. 数的拆分
3. 带余除法
4. 周期问题
5. 页码问题
6. 整除性质与特征
7. 位值原理
8. 进位制
9. 因数与倍数
10. 质数与合数
11. 因数定理
12. 短除模型
13. 余数性质
14. 同余
15. 同余式与不定方程
16. 完全平方数
17. 中国剩余定理
18. 数论综合（与其他体系交叉，常见的有组合体系、计数体系）

以上讲次可粗略分为“整除性质”“因倍质合”“余数性质”三大阶段．

“整除特征”可以说是小学数论体系里面非常重要的入门内容——在学习“整除特征”之前，从“奇数与偶数”到“页码问题”，全都可以当做算术题、应用题来看待，不必专门强调它的“数论属性”；而从“整除特征”开始，数论知识的“天梯”才第一次在学生面前铺开，由于之后的讲次层层递进，环环相扣，想要学好数论，就必须溯源到“整除特征”．

“整除特征”最主要的教学目标是——让学生熟练判断一个大数能否被2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,33,99,101,111,125,333,999,1001整除，以及，在不能整除的情况下，能否快速算出余数．

在学习“整除特征”时，会提前涉及到“位值原理”“因数倍数”“余数性质”等后续知识，这也为今后正式学习做了一定的铺垫．

02．如何从整体把握整除特征？

无论是老师授课，还是学生学习，在正式刷题之前，最好要对整除特征的整体脉络有一个初步把握．

本文尝试按照“整除、因倍、位值原理”、“整除性质”、“整除特征”、“末尾系整除特征”、“和系整除特征”、“差系整除特征”、“整除特征表”这七块内容进行梳理，最终得出结论——整除特征其实就是“给大数看面相”，“一叶而知秋”．

03．整除、因倍、位值原理

【整除】

我们知道，对于带余除法，可总结出以下关系式——

被除数÷除数＝商……余数

如果用非负整数a、b、q、r分别表示被除数、除数、商、余数（其中b不等于0），那么以上关系式可写成——

a÷b＝q……r

如果r＝0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a，记为b|a．

例如对于带余除法“105÷5＝21……0”，我们可以说105能被5整除，也可以说5能整除105，记为5|105．

【因倍】

如果r＝0，我们也可以说a是b或q的（整）倍数，又因为a÷b＝q可化为a＝b×q，我们还可以说b和q是a的因数．

例如对于带余除法“105÷5＝21……0”，我们可以说105是5或21的倍数，也可以说5和21是105的因数．

【最大公因数】

因为30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，所以30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．

因为36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，所以36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36．

观察发现1、2、3、6既是30的因数也是36的因数，于是把1、2、3、6称为30与36的公因数，而这些公因数中最大的是6，我们就把6叫做30与36的最大公因数，记为(30,36)＝6．

【位值原理】

一个多位数比如“1111”，哪怕都是数字“1”，但由于“站位”不同，所表示的数值也不同——也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”，两者共同决定了该位上数的大小．

例如：1111＝1×1000＋1×100＋1×10＋1×1，123＝1×100＋2×10＋3×1．

04．整除性质

在知道了整除、因倍等概念之后，我们可以用它们来推导以下性质——

【性质1】和差

如果整数a和整数b都能被整数c整除，则它们的和或差也能被c整除．

即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)．

例如：5|15，5|10，那么5|(15±10)．

但必须注意的是，以上叙述反过来不成立，即两数的和或差能被c整除，这两个数不一定能被c整除．

例如：5|(11＋29)，但11、29均不能被5整除．

【性质2】传递

如果整数a能被整数b整除，b又能被整数c整除，那么a也能被c整除．

即：如果b|a，c|b，那么c|a．

例如：15|45，5|15，那么5|45．

【性质3】乘积

如果整数a能被整数b整除，也能被整数c整除，且b和c最大公因数是1，那么a一定能被b与c的乘积整除．

即：如果b|a，c|a，并且(b,c)＝1，那么bc|a．

例如：如果3|60，5|60，并且(3,5)＝1，那么(3×5)|60．

【性质4】因数

如果整数a能被整数b与整数c的积整除，那么a也能被b或c整除．

即：如果bc|a，那么b|a，c|a．

例如：(6×9)|108，那么6|108，9|108．

在以上例子中，尽管6与9的最大公因数不是1，性质4依然成立，可见性质4并没有像性质3那样要求b与c的最大公因数是1．

【性质5】扩倍

如果整数a能被整数b整除，那么am也能被bm整除．（m是非零整数）

即：如果b|a，那么bm|am．（m是非零整数）

例如：7|21，那么(7×3)|(21×3)．

【性质6】复合

如果整数a能被整数b整除，整数c能被整数d整除，那么ac也能被bd整除．

即：如果b|a，d|c，那么bd|ac．

例如：3|9，5|10，那么(3×5)|(9×10)．

05．整除特征

（1）整除是带余除法的一种特殊情况

在被除数a很大（比如a＝10154752214576652234155788）并且除数b相对很小（比如b＝2,3,5,7,11,13,17,19）的情况下，a除以b的商q会很大，又因为余数r小于除数b，除数小，余数只会更小，所以比起远大于余数r的商q，我们往往更关心余数r是几．

例如：a在数表中的位置，a天后是星期几，某数的a次方个位是几……解决这些问题只需要我们用a除以周期b，算出余数r即可．而余数有几种情况，完全取决于除数，如果除数是b，则余数r就有b种情况——比如a除以7的余数就恰好有7种情况：0,1,2,3,4,5,6．

根据整除的定义，我们发现，整除是余数为0的一种特殊情况．

本文探讨的整除特征，其实就是在讨论大数a的哪些特征可以帮助快速判断a除以b的余数r是否为0．

所以我们应该知道，余数问题是一个更大的范围，它包含了整除问题．

（2）部分与整体

接下来，让我们进一步理解整除特征．

所谓特征，就是一个整体区别于其他整体的部分，比如一个人的脸，脸（部分）就是人（整体）的特征，通过脸的特征信息，人脸识别系统就能区别对待不同的人．

有一句哲语说“一即是全，全即是一”，说的是无论你从微观还是从宏观去探索这个世界，得到的真理其实是一样的．这种观点认为，从一个整体中取走一小块，这个小块却包含了它所属整体的全部信息，这就类似于采集一只羊的组织样品，只需用该样品中的DNA就能克隆一只完整的羊．

不过在数学上，这个观点不一定正确，一般来说，你无法从一个真子集推知它的全集．不过，我们有时候并不关心全集，而是关心这个全集在某个特定操作下的结果是多少．一个集合并非它的所有部分都参与决定这个结果，那么针对该特定操作，我们只需要找到与之相关的那部分真子集，就足以得出结论，而这个真子集，也可以称为关于某个操作的特征．

（3）整除特征

对于一个大数a，除以某些特殊除数b，a的一些经过精心处理（其实就是利用位值原理去构造）的特征数确实是可以透露它的整除情况的——即我们只需要通过a的一部分信息就能得出a除以b的余数是多少．

（但如果是求a除以b的商和余数分别是多少，那就需要知道a的全部信息了．）

我们把一个大数a的末一位（末n位），数字和（数段和），数字奇偶差（数段奇偶差）统一命名为这个大数的特征数x，如果x能被整数b整除，那么a也能被整除；如果x除以b的余数是r，那么这个a除以b的余数也是r．

所以特征数x就好比大数a的脸部特征，我不需要看清大数a的全身，只看脸（特征数x）就能知道它的整除情况或余数情况．

（4）构造特征数的整体思路

在分别介绍“末尾系”“和系”“差系”之前，先简单提一下构造特征数的整体思路——我们把一个大数a分解成两部分的和，其中一大部分是给定除数b的倍数（这部分无论有多大，除以b的余数始终为0，可认为对余数没有任何贡献），那么只需看剩下的一小部分（特征数x）除以b的情况如何，就能知道a除以b的情况如何了．

06．末尾系整除特征

（1）为什么能被2或5整除的数的特征数是末一位？

在小低年级学习奇数与偶数时，我们就发现了2的倍数（即偶数）的个位数字规律：0、2、4、6、8——无论被除数a是一个几位数，只要a的个位（末一位）能被2整除，a就能被2整除；只要a的个位（末一位）除以2余1，a除以2就余1．

5也如此，无论被除数a是一个几位数，只要a的个位（末一位）能被5整除，那么a就能被5整除；只要a的个位（末一位）除以5余r（r＝1,2,3,4），那么a除以5就余r．

那么，为什么能被2和5的整除的数的特征数都是末一位呢？

（为了表述方便，接下来我们把“能被2和5的整除的数的特征数”简写为“2和5的整除特征”）

让我们来看以下例子——

假设a＝1234567，想要求1234567除以2或5的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？

还可以这样做：

a＝1234567＝1234560＋7＝10×123456＋7．

通过以上操作，a被分成了两部分，其中“10×123456”这部分能被10整除，又因为10＝2×5，根据整除性质4可知——

“10×123456”能被2整除，也能被5整除．

换一个说法：“10×123456”除以2的余数为0，除以5的余数也为0．

根据整除性质1，如果a（a＝10×123456＋7）想要被2或5整除，在第一部分“10×123456”已经被2或5整除的情况下，第二部分“7”也要被2或5整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被2或5整除的关键．

如果“7”除以2或5余数为0，那么a就能被2或5整除；

如果“7”除以2或5余数为r（r＝1,2,3,4），那么a除以2或5的余数就是r．

（这里用到了余数的可加性，虽然还没有正式学习余数的性质，但是可以这样给学生讲——a＝10×123456＋7，第一部分“10×123456”除以2或5不会产生余数，如果a除以2或5出现了余数，那么这个余数一定来自于第二部分“7”）

（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）

通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以2或5时，只有它的末一位参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的末一位称为2或5的整除特征．

这就好比“1234567”是一条毛毛虫，“7”是它的脸，其余部分是它的身子，我们只需要看脸就能知道这条“毛毛虫”除以2或5的整除（余数）情况了．

（2）为什么4的整除特征不是末一位而是末两位？

我们知道——无论被除数a是一个几位数（至少是两位数），只要a的末两位能被4整除，a就能被4整除；只要a的末两位除以4余r（r＝1,2,3），a除以4就余r．

——为什么除数4作为一个一位数，它的整除特征却是末两位？

让我们来看以下例子——

假设a＝1234567，想要求1234567除以4的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？

还可以这样做：

a＝1234567＝1234500＋67＝100×12345＋67．

通过以上操作，a被分成了两部分，其中“100×12345”这部分能被100整除，又因为100＝4×25，根据整除性质4可知——

“100×12345”能被4整除，也能被25整除．

换一个说法：“100×12345”除以4的余数为0，除以25的余数也为0．

根据整除性质1，如果a（a＝100×12345＋67）想要被4或25整除，在第一部分“100×12345”已经被4或25整除的情况下，第二部分“67”也要被4或25整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被4或25整除的关键．

如果“67”除以4或25余数为0，那么a就能被4或25整除；

如果“67”除以4或25余数为r，那么a除以4或25的余数就是r．

（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）

通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以4或25时，只有它的末两位参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的末两位称为4或25的整除特征．

并且我们还知道了——之所以4的整除特征不是末一位，是因为（在要求初学者掌握的整除特征中）除数4没有专属于自己的整除特征，作为100的因数，它和它的“搭档”25都依附于除数100的整除特征，因为除数100的整除特征是被除数a的末两位，所以4和25的整除特征都是末两位．

（3）为什么8的整除特征不是末一位而是末三位？

我们知道——无论被除数a是一个几位数（至少是三位数），只要a的末三位能被8整除，a就能被8整除；只要a的末三位除以8余r（r＝1,2,3,4,5,6,7），a除以8就余r．

——为什么除数8作为一个一位数，它的整除特征却是末三位？

让我们来看以下例子——

假设a＝1234567，想要求1234567除以8的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？

还可以这样做：

a＝1234567＝1234000＋567＝1000×1234＋567．

通过以上操作，a被分成了两部分，其中“1000×1234”这部分能被1000整除，又因为1000＝8×125，根据整除性质4可知——

“1000×1234”能被8整除，也能被125整除．

换一个说法：“1000×1234”除以8的余数为0，除以125的余数也为0．

根据整除性质1，如果a（a＝1000×1234＋567）想要被8或125整除，在第一部分“1000×1234”已经被8或125整除的情况下，第二部分“567”也要被8或125整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被8或125整除的关键．

如果“567”除以8或125余数为0，那么a就能被8或125整除；

如果“567”除以8或125余数为r，那么a除以8或125的余数就是r．

（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）

通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以8或125时，只有它的末三位参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的末三位称为8或125的整除特征．

并且我们还知道了——之所以8的整除特征不是末一位，是因为（在要求初学者掌握的整除特征中）除数8没有专属于自己的整除特征，作为1000的因数，它和它的“搭档”125都依附于除数1000的整除特征，因为除数1000的整除特征是被除数a的末三位，所以8和125的整除特征都是末三位．

07．和系整除特征

（1）为什么9的整除特征不是末一位而是数字和？

我们知道——无论被除数a是一个几位数，只要a的（一位一段和）数字和能被9整除，a就能被9整除；只要a的（一位一段和）数字和除以9余r（r＝1,2,3,4,5,6,7,8），a除以9就余r．

那么，为什么9的整除特征不是末一位而是数字和呢？

让我们来看以下例子——

假设a＝1234567，想要求1234567除以9的余数，能否只看a的末几位呢？显然不能——因为无论是1234560，还是1234500，又或是1234000，这些整十、整百、整千的数不一定都能被9整除，我们不能说“只有a的末几位才对除以9的余数有贡献”．所以我们不能只在a的末几位里寻找9的整除特征．

但是我们可以这样做：

a＝1234567

＝1×1000000＋2×100000＋3×10000＋4×1000＋5×100＋6×10＋7

＝1×(999999＋1)＋2×(99999＋1)＋3×(9999＋1)＋4×(999＋1)＋5×(99＋1)＋6×(9＋1)＋7

＝1×999999＋2×99999＋3×9999＋4×999＋5×99＋6×9＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)

＝9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)

通过以上操作，a被分成了两部分，其中“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”这部分能被9整除，又因为3|9，根据整除性质2可知——

“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”能被9整除，也能被3整除．

换一个说法：“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”除以9的余数为0，除以3的余数也为0．

根据整除性质1，如果a（a＝9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)）想要被9或3整除，在第一部分“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”已经被9或3整除的情况下，第二部分“(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)”也要被9或3整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被9或3整除的关键．

如果“(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)”除以9或3余数为0，那么a就能被9或3整除；

如果“(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)”除以9或3余数为r，那么a除以9或3的余数就是r．

（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）

通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以9或3时，只有它的数字和（一位一段和）参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的数字和（一位一段和）称为9或3的整除特征．

（2）为什么11的整除特征可以是两位一段和？

我们知道——无论被除数a是一个几位数（至少是两位数），只要a的（两位一段）数段和能被99整除，a就能被99整除；只要a的（两位一段）数段和除以99余r，a除以99就余r．

那么，为什么11的整除特征也可以是两位一段和呢？

让我们来看以下例子——

假设a＝1234567，想要求1234567除以99的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？

还可以这样做：

a＝1234567＝01234567

＝01×1000000＋23×10000＋45×100＋67

＝01×(999999＋1)＋23×(9999＋1)＋45×(99＋1)＋67

＝01×999999＋23×9999＋45×99＋(01＋23＋45＋67)

＝99×(01×10101＋23×101＋45×1)＋(01＋23＋45＋67)

通过以上操作，a被分成了两部分，其中“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”这部分能被99整除，又因为33|99，11|99，根据整除性质2可知——

“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”能被99整除，也能被33整除，还能被11整除．

换一个说法：“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”除以99的余数是0，除以33的余数也是0，除以11的余数还是0．

根据整除性质1，如果a（a＝99×(01×10101＋23×101＋45×1)＋(01＋23＋45＋67)）想要被99或33或11整除，在第一部分“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”已经被99或33或11整除的情况下，第二部分“(01＋23＋45＋67)”也要被99或33或11整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被99或33或11整除的关键．

如果“(01＋23＋45＋67)”除以99或33或11余数为0，那么a就能被99或33或11整除；

如果“(01＋23＋45＋67)”除以99或33或11余数为r，那么a除以99或33或11的余数就是r．

（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）

通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以99或33或11时，只有它的“两位一段和”参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的“两位一段和”称为99或33或11的整除特征．

（特别提醒：“两位一段和”在分段时应按照从末位到首位，即从右至左的顺序，如果最左侧仅剩一个数字，可添零补足两位．）

（3）为什么111的整除特征可以是三位一段和？

我们知道——无论被除数a是一个几位数（至少是三位数），只要a的（三位一段）数段和能被999整除，a就能被999整除；只要a的（三位一段）数段和除以999余r，a除以999就余r．

那么，为什么111的整除特征也可以是三位一段和呢？

让我们来看以下例子——

假设a＝1234567，想要求1234567除以999的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？

还可以这样做：

a＝1234567＝001234567

＝001×1000000＋234×1000＋567

＝001×(999999＋1)＋234×(999＋1)＋567

＝001×999999＋234×999＋(001＋234＋567)

＝999×(001×1001＋234×1)＋(001＋234＋567)

通过以上操作，a被分成了两部分，其中“999×(001×1001＋234×1)”这部分能被999整除，又因为333|999，111|999，根据整除性质2可知——

“999×(001×1001＋234×1)”能被999整除，也能被333整除，还能被111整除．

换一个说法：“999×(001×1001＋234×1)”除以999的余数是0，除以333的余数也是0，除以111的余数还是0．

根据整除性质1，如果a（a＝999×(001×1001＋234×1)＋(001＋234＋567)）想要被999或333或111整除，在第一部分“999×(001×1001＋234×1)”已经被999或333或111整除的情况下，第二部分“(001＋234＋567)”也要被999或333或111整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被999或333或111整除的关键．

如果“(001＋234＋567)”除以999或333或111余数为0，那么a就能被999或333或111整除；

如果“(001＋234＋567)”除以999或333或111余数为r，那么a除以999或333或111的余数就是r．

（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）

通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以999或333或111时，只有它的“三位一段和”参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的“三位一段和”称为999或333或111的整除特征．

（特别提醒：“三位一段和”在分段时应按照从末位到首位，即从右至左的顺序，如果最左侧仅剩不到3个数字，可添零补足三位．）

08．差系整除特征

（1）为什么11的整除特征除了两位一段和还可以是一位一段奇偶差？

11存在多个整除特征，其中包括——无论被除数a是一个几位数，只要a的“一位一段奇偶差”能被11整除，a就能被11整除；a的“一位一段奇偶差”除以11余r，那么a除以11就余r．

为什么11存在以上整除特征呢？

让我们来看以下例子——

假设a＝1234567，想要求1234567除以11的余数，除了两位一段和以外，有没有别的巧算办法呢？

还可以这样做：

a＝1234567

＝1×1000000＋2×100000＋3×10000＋4×1000＋5×100＋6×10＋7

＝1×(999999＋1)＋2×(100001－1)＋3×(9999＋1)＋4×(1001－1)＋5×(99＋1)＋6×(11－1)＋7

＝1×999999＋2×100001＋3×9999＋4×1001＋5×99＋6×11＋(1－2＋3－4＋5－6＋7)

＝11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)＋(1－2＋3－4＋5－6＋7)

通过以上操作，a被分成了两部分，其中“11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)”这部分能被11整除．

换一个说法：“11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)”除以11的余数为0．

根据整除性质1，如果a（a＝11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)）想要被11整除，在第一部分“11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)”已经被11整除的情况下，第二部分“(1－2＋3－4＋5－6＋7)”也要被11整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被11整除的关键．

如果“(1－2＋3－4＋5－6＋7)”除以11余数为0，那么a就能被11整除；

如果“(1－2＋3－4＋5－6＋7)”除以11余数为r，那么a除以11的余数就是r．

（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）

通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以11时，只有它的“一位一段奇偶差”参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的“一位一段奇偶差”称为11的整除特征．

（特别提醒：“一位一段奇偶差”在分段时应按照从末位到首位，即从右至左的顺序，第1、3、5…段（奇数段）相加，第2、4、6…段（偶数段）相加，然后奇数段之和减去偶数段之和．）

（2）为什么少有人关心101的整除特征？

101是一个不常被提到的除数，不常见的原因并非它自身比较大，而是“没有更小的除数是它的因数”——101是一个质数．由于没有更小的除数“共享”101的整除特征，所以我们很少会用到它的整除特征——无论被除数a是一个几位数（至少是两位数），只要a的“两位一段奇偶差”能被101整除，a就能被101整除；只要a的“一位一段奇偶差”除以101余r，a除以101就余r．

为什么101存在以上整除特征呢？

让我们来看以下例子——

假设a＝1234567，想要求1234567除以101的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？

还可以这样做：

a＝1234567

＝01×1000000＋23×10000＋45×100＋67

＝01×(1000001－1)＋23×(9999＋1)＋45×(101－1)＋67

＝01×1000001＋23×9999＋45×101＋(67－45＋23－01)

＝101×(01×9901＋23×99＋45×1)＋(67－45＋23－01)

通过以上操作，a被分成了两部分，其中“101×(01×9901＋23×99＋45×1)”这部分能被101整除．

换一个说法：“101×(01×9901＋23×99＋45×1)”除以101的余数为0．

根据整除性质1，如果a（a＝101×(01×9901＋23×99＋45×1)＋(67－45＋23－01)）想要被101整除，在第一部分“101×(01×9901＋23×99＋45×1)”已经被101整除的情况下，第二部分“(67－45＋23－01)”也要被101整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被101整除的关键．

如果“(67－45＋23－01)”除以101余数为0，那么a就能被101整除；

如果“(67－45＋23－01)”除以101余数为r，那么a除以101的余数就是r．

（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）

通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以101时，只有它的“两位一段奇偶差”参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的“两位一段奇偶差”称为101的整除特征．

（特别提醒：“两位一段奇偶差”在分段时应按照从末位到首位，即从右至左的顺序，第1、3、5…段（奇数段）相加，第2、4、6…段（偶数段）相加，然后奇数段之和减去偶数段之和．）

（3）为什么7作为一位数，它的整除特征却是三位一段奇偶差？

我们知道——无论被除数a是一个几位数（至少是三位数），只要a的“三位一段奇偶差”能被7整除，a就能被7整除；只要a的“三位一段奇偶差”除以7余r，a除以7就余r．

——为什么除数7作为一个一位数，它的整除特征却是三位一段？

让我们来看以下例子——

假设a＝1234567，想要求1234567除以7的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？

还可以这样做：

a＝1234567＝001234567

＝001×1000000＋234×1000＋567

＝001×(999999＋1)＋234×(1001－1)＋567

＝001×999999＋234×1001＋(001－234＋567)

＝1001×(001×999＋234×1)＋(001－234＋567)

通过以上操作，a被分成了两部分，其中“1001×(001×999＋234×1)”这部分能被1001整除，又因为7|1001，11|1001，13|1001，根据整除性质2可知——

“1001×(001×999＋234×1)”能被1001整除，也能被7、11、13整除．

换一个说法：“1001×(001×999＋234×1)”除以1001的余数是0，除以7、11、13的余数也是0．

根据整除性质1，如果a（a＝1001×(001×999＋234×1)＋(001－234＋567)）想要被7或11或13整除，在第一部分“1001×(001×999＋234×1)”已经被7或11或13整除的情况下，第二部分“(001－234＋567)”也要被7或11或13整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被7或11或13整除的关键．

如果“(001－234＋567)”除以7或11或13余数为0，那么a就能被7或11或13整除；

如果“(001－234＋567)”除以7或11或13余数为r，那么a除以7或11或13的余数就是r．

（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）

通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以7或11或13时，只有它的“三位一段奇偶差”参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的“三位一段奇偶差”称为7或11或13的整除特征．

（特别提醒：“三位一段奇偶差”在分段时应按照从末位到首位，即从右至左的顺序，第1、3、5…段（奇数段）相加，第2、4、6…段（偶数段）相加，然后奇数段之和减去偶数段之和．）

并且我们还知道了——之所以7的整除特征不是“一位一段”，是因为（在要求初学者掌握的整除特征中）除数7没有专属于自己的整除特征，作为1001的因数，它和它的“搭档”11、13都依附于除数1001的整除特征，因为除数1001的整除特征是被除数a的“三位一段奇偶差”，所以7、11、13的整除特征都是“三位一段奇偶差”．

09．整除特征表

在分别学习了“末尾系”“和系”“差系”的整除特征之后，很有必要通过一个表格对以上知识进行一个汇总——

制表人：奥术师

以下是对上表内容进一步的补充：

1. 11有多种整除特征，通常情况下，建议使用专属于11的整除特征——“一位一段奇偶差”,因为这个特征用起来最方便． （读者可思考：除了11，别的除数是否也存在多种整除特征？）
2. 给多位数分段时应按照从末位到首位（从右至左）的顺序，若最左侧仅剩的数字不足一段，可添零补位．
3. 除数整除特征数，则除数整除被除数；特征数除以除数余几，则被除数除以除数就余几．
4. 差系特征数的计算有两种方式：①如果仅仅是为了判断整除，把被除数分段后先分别计算奇数段之和与偶数段之和，然后用“较大的和”减“较小的和”，所得结果即特征数；②如果不仅是为了判断整除，在不能整除时还要算出余数，那么就只能用奇数段之和减偶数段之和来计算特征数，但是有可能奇数段之和小于偶数段之和导致不够减，这种情况就要在原算式基础上加若干个除数，直到够减为止．
5. 为什么在计算差系特征数的时候，可以在原算式的基础上加若干个除数？我们用整除性质来证明（会涉及到同余和余数性质的知识）：已知整数a是被除数，正整数b是除数，整数q是商，整数r是余数，另设k为正整数，那么有：a＝bq＋r；已知1|q，1|k，根据整除性质5，有b|bq，b|bk；又根据整除性质1，得到：b|(bq＋bk)；那么(bq＋bk)÷b的余数是0，则(bq＋bk＋r)÷b的余数是r，也就是(a＋bk)÷b的余数是r． 所以在被除数的基础上增加若干个除数，余数不变．
6. 根据整除性质2，若较小除数是较大除数的因数，那么较小除数能共享较大除数的整除特征．比如5的整除特征原本是末一位，但由于5|25，5|125，所以末两位、末三位也可以作为5的整除特征．
7. 反之则不然，哪怕较小除数是较大除数的因数，较大除数也不能共享较小除数的整除特征．比如25的整除特征原本是末两位，尽管5|25，但是25无法使用末一位作为整除特征．

10．总结

本文从“整除”、“因倍”、“位值原理”等基础知识出发，介绍了初学者有必要了解的“整除性质”，然后运用“位值原理”去构造，运用“整除性质”去推理，全面系统地得出了“末尾系”、“和系”、“差系”的“整除特征”，最后汇总整理出了具有实用价值的“整除特征表”．

无论是末尾系、和系还是差系，无论是一位一段、两位一段还是三位一段，利用整除特征得出的特征数，都可看作“大数的面相”——我们只需看到“大数的脸”，就足以判断它除以特定除数的整除情况．